Trabajo y Energía en
el Movimiento: Armónico Simple; Rotación
Es un
movimiento vibratorio bajo la acción de una fuerza recuperadora elástica,
proporcional al desplazamiento y en ausencia de todo rozamiento.
Solemos decir
que el sonido de una determinada nota musical se representa gráficamente por la
función seno. Ésta representa un movimiento vibratorio llamado movimiento
armónico simple, que es aquel que se obtiene cuando los desplazamientos del
cuerpo vibrante son directamente proporcionales a las fuerzas causantes de este
desplazamiento.
Un ejemplo de
este movimiento se puede encontrar a partir del desplazamiento de un punto
cualquiera alrededor de toda la longitud de una circunferencia.
Cuando un
punto (P) recorre una circunferencia con velocidad uniforme, su proyección (Q)
sobre cualquiera de los diámetros de esta, realiza un tipo de movimiento
armónico simple. Cada vez que el punto se encuentre en uno de los cuatro
cuadrantes de la circunferencia, se trazará una perpendicular desde el punto a
un diámetro fijo de la circunferencia. A medida que el punto escogido se mueve
a velocidad uniforme, el punto proyectado en el diámetro, realizará un
movimiento oscilatorio rectilíneo.
Para
representar gráficamente (en una función) el movimiento armónico simple de un
punto, se toman como abscisas los tiempos medidos como fracciones del período
(T/12, T/6, T/4...) que es el tiempo que este punto tarda en dar una vuelta
completa a la circunferencia; y como a ordenadas las sucesivas prolongaciones
del mismo. La resultante es una sinusoide, ya que la variación del tiempo t, se
traduce como una variación del sin x, donde x es el ángulo que forma el radio
con el semi-eje positivo de abscisas (x es proporcional al tiempo).
Elementos:
1. Oscilación o vibración: es el
movimiento realizado desde cualquier posición hasta regresar de nuevo a ella
pasando por las posiciones intermedias.
2. Elongación: es el
desplazamiento de la partícula que oscila desde la posición de equilibrio hasta
cualquier posición en un instante dado.
3. Amplitud: es la máxima
elongación, es decir, el desplazamiento máximo a partir de la posición de
equilibrio.
4. Periodo: es el tiempo
requerido para realizar una oscilación o vibración completa. Se designa con la
letra "t".
5. Frecuencia: es el número de
oscilación o vibración realizadas en la unidad de tiempo.
6. Posición de equilibrio: es la
posición en la cual no actúa ninguna fuerza neta sobre la partícula oscilante.
Relación entre el M.A.S. y el
Movimiento Circular Uniforme
El M.A.S. de
un cuerpo real se puede considerar como el movimiento de la
"proyección" (sombra que proyecta) de un cuerpo auxiliar que
describiese un movimiento circular uniforme (M.C.U.) de radio igual a la
amplitud A y velocidad angular ω, sobre el diαmetro vertical de la
circunferencia que recorre.
En lo siguiente podrás visualizar
dicha relación.
Vamos a
establecer una relación entre un movimiento vibratorio armónico simple y el
movimiento circular uniforme. Esto nos va a permitir dos cosas:
- Hallar la ecuación del MÁS sin
tener que recurrir a cálculos matemáticos complejos.
- Conocer de dónde vienen algunos
de los conceptos que usamos en el MÁS, como frecuencia angular o el desfase.
Observando el
applet que viene a continuación. Tememos inicialmente el resorte azul, que
oscila verticalmente. En la circunferencia tienes un punto negro que gira con
movimiento circular uniforme, ocupando en cada instante una posición en la
circunferencia. Traza mentalmente la proyección de esa posición sobre el
diámetro vertical de la circunferencia. En cada momento, la masa que cuelga del
resorte ocupa una posición determinada.
Observa que la posición de la masa del resorte coincide exactamente con
la proyección de la posición del objeto sobre el diámetro, que verás en forma
de línea azul en el diámetro vertical.
Es decir, como
resumen, cuando un objeto gira con movimiento circular uniforme en una
trayectoria circular, el movimiento de la proyección del objeto sobre el
diámetro es un movimiento armónico simple.
Lo mismo
podríamos decir del resorte amarillo y la proyección sobre el diámetro
horizontal, que verás como un trazo amarillo sobre dicho diámetro.
Los vectores
azul y amarillo, que varían en el applet, corresponden al valor de la velocidad
del resorte, azul para diámetro vertical y amarillo para el horizontal. Observa
su variación y comprobarás que la velocidad es máxima en el centro de
equilibrio del resorte y mínima en los extremos, en los puntos de mínima y
máxima elongación. Observa también como el vector rojo de la gráfica de la
derecha, la velocidad del MÁS, coincide con el vector azul, la velocidad de la
proyección sobre el diámetro vertical, lo que supone una prueba más de lo que
hemos afirmado anteriormente.
Ecuaciones del Movimiento Armónico
Simple
Fórmulas:
x = A . cos . w . t
x = elongación
r = A = radio
t = tiempo
w = velocidad angular
Vx = - V . sen Ø
V = w . r
h = w . t
w . t = V = Vector representativo
de la velocidad lineal.
Vx = proyección de "Y"
sobre el eje "X"
h = ángulo
Vx = -2
. F . A . sen (2
. )
Vx = + w " A2 - x2
Ax = - w2 . A . cos. w . t
Ax = - Ac . cos Ø
Ac = proyección de aceleración
sobre el eje horizontal
Ac = w2 . x
Ac = aceleración centrípeta
t = 2
" mk
T = periodo
Péndulo simple
Definición: Es
llamado así porque consta de un cuerpo de masa m, suspendido de un hilo largo
de longitud l, que cumple las condiciones siguientes:
El hilo es inextensible
Su masa es despreciable comparada
con la masa del cuerpo
El ángulo de desplazamiento que
llamaremos 0 debe ser pequeño
Como funciona: con un hilo
inextensible su masa es despreciada comparada con la masa del cuerpo el ángulo
de desplazamiento debe ser pequeño.
Hay ciertos
sistemas que, si bien no son estrictamente sistemas sometidos a una fuerza tipo
Hooke, si pueden, bajo ciertas condiciones, considerarse como tales. El péndulo
simple, es decir, el movimiento de un grave atado a una cuerda y sometido a un
campo gravitatorio constante, es uno de ellos.
Al colocar un
peso de un hilo colgado e inextensible y desplazar ligeramente el hilo se
produce una oscilación periódica. Para estudiar esta oscilación es necesario
proyectar las fuerzas que se ejercen sobre el peso en todo momento, y ver que
componentes nos interesan y cuáles no. Esto se puede observar en la figura
13.1.
Vemos pues que,
considerando únicamente el desplazamiento tangente a la trayectoria, es decir,
el arco que se está recorriendo, podemos poner
Que a veces también se expresa
como.
Esta ecuación
es absolutamente análoga a la de un movimiento armónico simple, y por tanto su
solución también será (13.2) teniendo, únicamente, la precaución de sustituir
el valor de antiguo por el que tiene ahora para un péndulo
A partir de
aquí se pueden extraer todas las demás relaciones para un péndulo simple, el
periodo, frecuencia, entre otros.
Período de un Péndulo
Período: Se define como el tiempo
que se demora en realizar una oscilación completa. Para determinar el período
se utiliza la siguiente expresión T/ N° de Osc. ( tiempo empleado dividido por
el número de oscilaciones).
1) El periodo de un péndulo es
independiente de su amplitud. Esto significa que si se tienen 2 péndulos
iguales (longitud y masa), pero uno de ellos tiene una amplitud de recorrido
mayor que el otro, enambas condiciones la medida del periodo de estos péndulos
es el mismo.
2) El periodo de un péndulo es directamente
proporcional a la raíz cuadrada de su longitud. Esto significa que el periodo
de un péndulo puede aumentar o disminuir de acuerdo a la raíz cuadrada de la
longitud de ese péndulo.
Aplicaciones
Algunas
aplicaciones del péndulo son la medición del tiempo, el metrónomo y la plomada.
Otra
aplicación se conoce como Péndulo de Foucault, el cual se emplea para
evidenciar la rotación de la Tierra. Se llama así en honor del físico francés
Léon Foucault y está formado por una gran masa suspendida de un cable muy
largo.
También sirve,
puesto que un péndulo oscila en un plano fijo, como prueba efectiva de la
rotación de la Tierra, aunque estuviera siempre cubierta de nubes: En 1851 Jean
Leon Foucault colgó un péndulo de 67 metros de largo de la cúpula de los
Inválidos en Paris (latitud≅49º).
Un recipiente que contenía arena estaba sujeto al extremo libre; el hilo de
arena que caía del cubo mientras oscilaba el Péndulo señalaba la trayectoria:
demostró experimentalmente que el plano de oscilación del péndulo giraba 11º
15’ cada hora y por tanto que la Tierra rotaba.
Sistema Masa-Resorte
Otro ejemplo
de Movimiento Armónico Simple es el sistema masa-resorte que consiste en una
masa “m” unida a un resorte, que a su vez se halla fijo a una pared, como se
muestra en la figura. Se supone movimiento sin rozamiento sobre la superficie
horizontal.
El resorte es
un elemento muy común en máquinas. Tiene una longitud normal, en ausencia de
fuerzas externas. Cuando se le aplican fuerzas se deforma alargándose o
acortándose en una magnitud “x” llamada “deformación”. Cada resorte se
caracteriza mediante una constante “k” que es igual a la fuerza por unidad de
deformación que hay que aplicarle. La fuerza que ejercerá el resorte es igual y
opuesto a la fuerza externa aplicada (si el resorte deformado está en reposo) y
se llama fuerza recuperadora elástica.
Dicha fuerza recuperadora
elástica es igual a:
En el primer
dibujo tenemos el cuerpo de masa “m” en la posición de equilibrio, con el
resorte teniendo su longitud normal.
Si mediante una fuerza externa lo apartamos de
la misma (segundo dibujo), hasta una deformación “x = + A” y luego lo soltamos,
el cuerpo empezará a moverse con M.A.S. oscilando en torno a la posición de
equilibrio. En este dibujo la fuerza es máxima pero negativa, lo que indica que
va hacia la izquierda tratando de hacer regresar al cuerpo a la posición de
equilibrio.
Llegará entonces hasta una deformación “x =
-A” (tercer dibujo). En este caso la deformación negativa indica que el resorte
está comprimido. La fuerza será máxima pero positiva, tratando de volver al
cuerpo a su posición de equilibrio.
A través de la
Segunda Ley de Newton relacionamos la fuerza actuante (recuperadora) con la
aceleración a (t).
El
Péndulo Simple
Un péndulo
simple se define como una partícula de masa m suspendida del punto O por un
hilo inextensible de longitud l y de masa despreciable.
Si la
partícula se desplaza a una posición q0 (ángulo que hace el hilo con la
vertical) y luego se suelta, el péndulo comienza a oscilar.
El
péndulo describe una trayectoria circular, un arco de una circunferencia de
radio l. Estudiaremos su movimiento en la dirección tangencial y en la
dirección normal.
Las fuerzas
que actúan sobre la partícula de masa m son dos
*El peso mg
*La tensión T
del hilo
Descomponemos
el peso en la acción simultánea de dos componentes, mg·senq en la dirección tangencial y mg·cosq en la
dirección radial.
Ecuación del
movimiento en la dirección radial
La aceleración
de la partícula es an=v2/l dirigida radialmente hacia el centro de su
trayectoria circular.
La segunda ley
de Newton se escribe
man=T-mg·cosq
Conocido el
valor de la velocidad v en la posición angular q podemos determinar la tensión T del hilo.
La tensión T
del hilo es máxima, cuando el péndulo pasa por la posición de equilibrio,
T=mg+mv2/l
Es mínima, en
los extremos de su trayectoria cuando la velocidad es cero, T=mgcosq0
Principio de
conservación de la energía
En la posición
θ=θ0 el péndulo solamente tiene energía potencial, que se transforma en energía
cinética cuando el péndulo pasa por la posición de equilibrio.
Comparemos dos posiciones del
péndulo:
En la posición extrema θ=θ0, la
energía es solamente potencial.
E=mg(l-l·cosθ0)
En la posición θ, la energía del
péndulo es parte cinética y la otra parte potencial
La energía se conserva
v2=2gl(cosθ-cosθ0)
La tensión de la cuerda es
T=mg(3cosθ-2cosθ0)
La tensión de
la cuerda no es constante, sino que varía con la posición angular θ. Su valor
máximo se alcanza cuando θ=0, el péndulo pasa por la posición de equilibrio (la
velocidad es máxima). Su valor mínimo, cuando θ=θ0 (la velocidad es nula).
Ecuación del
movimiento en la dirección tangencial
La aceleración
de la partícula es at=dv/dt.
La segunda ley
de Newton se escribe
mat=-mg·senq
La relación
entre la aceleración tangencial at y la aceleración angular a es at=a ·l. La
ecuación del movimiento se escribe en forma de ecuación diferencial
Medida de la aceleración de la
gravedad
Cuando el ángulo q es pequeño entonces, senq » q , el péndulo
describe oscilaciones armónicas cuya ecuación es
q =q0·sen(w t+j )
de frecuencia angular w2=g/l, o
de periodo
La ley de la
gravitación de Newton describe la fuerza de atracción entre dos cuerpos de
masas M y m respectivamente cuyos centros están separados una distancia r.
La intensidad
del campo gravitatorio g, o la aceleración de la gravedad en un punto P situado
a una distancia r del centro de un cuerpo celeste de masa M es la fuerza sobre
la unidad de masa g=F/m colocada en dicho punto.
su dirección es radial y dirigida hacia el
centro del cuerpo celeste.
En la página
dedicada al estudio del Sistema Solar, proporcionamos los datos relativos a la
masa (o densidad) y radio de los distintos cuerpos celestes.
Ejemplo:
Marte tiene un
radio de 3394 km y una masa de 0.11 masas terrestres (5.98·1024 kg). La
aceleración g de la gravedad en su superficie es
Tenemos dos procedimientos para
medir esta aceleración
Cinemática
Se mide con un
cronómetro el tiempo t que tarda en caer una partícula desde una altura h. Se
supone que h es mucho más pequeña que el radio r del cuerpo celeste.
Oscilaciones
Se emplea un instrumento mucho
más manejable, un péndulo simple de longitud l. Se mide el periodo de varias
oscilaciones para minimizar el error de la medida y se calculan el periodo P de una oscilación. Finalmente,
se despeja g de la fórmula del periodo.
De la fórmula del periodo
establecemos la siguiente relación lineal.
Se representan los datos
"experimentales" en un sistema de ejes:
P2/(4p2) en el eje vertical y La
longitud del péndulo l en el eje horizontal.
La pendiente de la recta es la
inversa de la aceleración de la gravedad g.
La Hidrostática
La hidrostática es la rama de la mecánica de
fluidos que estudia los fluidos en estado de reposo; es decir, sin que existan
fuerzas que alteren su movimiento o posición.
Agua de mar: fluido salobre.
Reciben el nombre de fluidos
aquellos cuerpos que tienen la propiedad de adaptarse a la forma del recipiente
que los contiene. A esta propiedad se le da el nombre de fluidez.
Son fluidos tanto los líquidos
como los gases, y su forma puede cambiar fácilmente por escurrimiento debido a
la acción de fuerzas pequeñas.
Los principales teoremas que
respaldan el estudio de la hidrostática son el principio de Pascal y el
principio de Arquímedes.
Principio de Pascal
En física, el principio de Pascal
es una ley enunciada por el físico y matemático francés Blaise Pascal
(1623-1662).
El principio de Pascal afirma que
la presión aplicada sobre un fluido no
compresible contenido en un recipiente indeformable se transmite con igual
intensidad en todas las direcciones y a todas partes del recipiente.
Este tipo de fenómeno se puede
apreciar, por ejemplo en la prensa hidráulica la cual funciona aplicando este
principio.
Definimos compresibilidad como la
capacidad que tiene un fluido para disminuir el volumen que ocupa al ser
sometido a la acción de fuerzas.
Principio de Arquímedes
El principio de Arquímedes afirma
que todo cuerpo sólido sumergido total o parcialmente en un fluido experimenta
un empuje vertical y hacia arriba con una fuerza igual al peso del volumen de fluido
desalojado.
El objeto no necesariamente ha de
estar completamente sumergido en dicho fluido, ya que si el empuje que recibe
es mayor que el peso aparente del objeto, éste flotará y estará sumergido sólo
parcialmente.
Propiedades de los fluidos
Las propiedades de un fluido son
las que definen el comportamiento y características del mismo tanto en reposo
como en movimiento.
Existen propiedades primarias y
propiedades secundarias del fluido.
Propiedades primarias o
termodinámicas:
Densidad
Presión
Definimos viscosidad como la
mayor o menor dificultad para el deslizamiento entre las partículas de un
fluido.
Temperatura
Energía interna
Entalpía
Entropía
Calores específicos
Propiedades secundarias
Caracterizan el comportamiento
específico de los fluidos.
Viscosidad
Conductividad térmica
Tensión superficial
Compresión
La densidad es la cantidad de
masa por unidad de volumen. Se denomina con la letra ρ. En el sistema
internacional se mide en kilogramos / metro cúbico.
Cuando se trata de una sustancia homogénea,
la expresión para su cálculo es:
hidrostatica001
Donde
ρ: densidad de la sustancia,
Kg/m3
m: masa de la sustancia, Kg
V: volumen de la sustancia, m3
En consecuencia la unidad de
densidad en el Sistema Internacional será kg/m3 pero es usual especificar
densidades en g/cm3, existiendo la equivalencia
1g cm3 = 1.000 kg/ m3.
La densidad de una sustancia
varía con la temperatura y la presión; al resolver cualquier problema debe
considerarse la temperatura y la presión a la que se encuentra el fluido.
Peso específico
El peso específico de un fluido
se calcula como su peso por unidad de volumen (o su densidad por g).
En el sistema internacional se
mide en Newton / metro cúbico.
Presión hidrostática
En general, podemos decir que la
presión se define como fuerza sobre unidad de superficie, o bien que la presión
es la magnitud que indica cómo se distribuye la fuerza sobre la superficie en
la cual está aplicada.
No hay comentarios.:
Publicar un comentario